Štatistiky počítané z kontingenčnej tabuľky:

Kovariancia Korelačný koeficient

Základné štatistiky súboru

Aritmetický priemer vyjadruje objem hodnôt premennej X pripadajúci v priemere na jednu jednotku súboru

N - rozsah súboru

- hodnota premennej X u i-tej jednotky

Variačné rozpätie v_r je rozdiel medzi najväčšou a najmenšou hodnotou kvantitatívneho znaku v_{r =} x_max - x_min

Rozptyl predstavuje priemerný štvorec odchýlky od priemeru.

Štandardná (smerodajná) odchýlka

Štandardná chyba (chyba strednej hodnoty)

Modus M_o je najčastejšie sa vyskytujúca hodnota znaku X, resp., v prípade triedeného súboru hodnota reprezentanta triedy s najväčšou absolútnou početnosťou.

Medián M_e delí súbor na 2 skupiny, z ktorých prvá obsahuje 50% štatistických jednotiek, ktoré majú hodnotu znaku X menšiu ako medián druhá obsahuje 50% zvyšných štatistických jednotiek, ktoré majú hodnotu väčšiu ako medián.

Koeficient šikmosti charakterizuje symetriu rozdelenia.

Ak S = 0 rozdelenie je symetrické, ak S > 0 je rozdelenie oproti symetrickému zošikmené doľava (častejší výskyt menších hodnôt), ak S < 0, rozdelenie je oproti symetrickému zošikmené doprava (častejší výskyt väčších hodnôt).

Koeficient špicatosti K charakterizuje strmosť rozdelenia.

Ak K = 0, rozdelenie je rovnako špicaté ako normálne, ak K > 0, rozdelenie je „špicatejšie“ ako normálne, a ak K < 0, hovoríme o  „plochšom“ rozdelení ako je normálne.

EXCEL/Nástroje / Analýza údajov / Popisná štatistika

Stredná hodnota
Chyba strednej hodnoty
Medián	Me,
Modus	M0
Smerodajná odchýlka (výberová; odhad s)
Rozptyl výberu (odhad disperzie s^2)
Špicatosť	S, m4
Šikmosť	K, m3
Rozdiel max-min	vr
Minimum	xmin
Maximum	xmax
Súčet
Početnosť	n
Hladina spoľahlivosti (a; štandardne 0,05; 95,0%)

Bodový a intervalový odhad základných parametrov

Bodový odhad priemeru m základného súboru

Bodový odhad rozptylu s² základného súboru =

Bodový odhad štandardnej (smerodajnej) odchýlky s základného súboru

Interval spoľahlivosti priemeru m

1. s² poznáme

· 1-a je pravdepodobnosť, že m sa nachádza v danom intervale

nazývame ju spoľahlivosť odhadu, volíme ju blízku 1

· a je hladina spoľahlivosti, zvyčajne volíme a= 0,01; 0.05; 0.1

· je kvantil normovaného normálneho rozdelenia)

2. s² nepoznáme a výberový súbor je veľký

3. s² nepoznáme a výber. súbor je malý (n<30)

· je kvantil Studentovho t-rozdelenia s n-1 stupňami volnosti.

Interval spoľahlivosti rozptylu s²

sú a kvantily c² – rozdelenia

Interval spoľahlivosti štand. odchýlky s : odmocnina

Testovanie hypotéz o zhode parametrov

(stredná hodnota, rozptyl) dvoch základných súborov

hypotéza (nulová H₀, alternatívna)

testovacia štatistika

hladina významnosti, kritická hodnota

oblasť prijatia (zamietnutia) nulovej hypotézy, p-hodnota

POSTUP

I. Sformulujeme nulovú hypotézu H₀ a alternatívnu hypotézu H₁

H₀: H₀ :

H₁: 1. H₁ : 1.

2. 2.

3. 3.

II. Voľba chyby (1. druhu) a , t.j. pravdepodobnosti, s akou zamietneme pravdivú hypotézu H₀ (hladina významnosti) 

III. Voľba a výpočet testovacej štatistiky

IV. Určenie oblasti prijatia, resp. zamietnutia H₀ a rozhodnutie o prijatí, resp. zamietnutí H₀

Ad1. H₀ : H₁ :

a hladina spoľahlivosti, chyba 1. druhu

kritická hodnota

testovacia štatistika

Ad 2. H₀: H₁:

Ad 3. H₀: H₁:

p-hodnota - najnižšia hladina na zamienutie H₀

TESTY NORMALITY

TEST NORMALITY PODĽA SHAPIRA –WILKA

Predpoklady

HYPOTÉZY

H₀: náhodný výber pochádza zo súboru s normálnym rozdelením

H₁: náhodný výber nepochádza zo súboru s normálnym rozdelením

Testovacia štatistika

- hodnoty znaku v náhodnom výbere

- hodnoty znaku usporiadané podľa veľkosti

• 
• 
• - koeficienty z tabuľky Tab W.

- tabuľková hodnota pre dané n a hladinu významnosti alebo

Záver testu

H₀ nezamietame, ak

TEST NORMALITY PODĽA D’AGOSTINA

Predpoklady:

HYPOTÉZY

H₀: náhodný výber pochádza zo súboru s normálnym rozdelením

H₁: náhodný výber nepochádza zo súboru s normálnym rozdelením

Testovacia štatistika

• , ,

, - tabuľkové hodnoty pre dané n a hladinu významnosti alebo , pozri výpis v tabuľke.

Transformovaná hodnota

Záver testu : H₀ nezamietame, ak

			1-
n	0,005	0,025	0,975	0,995
30	-4,19	-2,91	0,830	0,941
36	-4,09	-2,85	0,917	1,05
40	-4,03	-2,81	0,964	1,11
50	-3,91	-2,74	1,06	1,24
60	-3,81	-2,68	1,13	1,34
90	-3,61	-2,57	1,28	1,54
100	-3,57	-2,54	1,31	1,59

ANOVA (ANALÝZA ROZPTYLU)

metóda na porovnanie priemerov niekoľkých základných súborov

Predpoklady

· výberové súbory pochádzajú zo súborov s normálnym rozdelením

· výberové súbory sú navzájom nezávislé

· rozptyly základných súborov sa rovnajú

jednofaktorová ANOVA

Hypotézy

H₀: m₁ = m₂ = . . . = m_r

(priemerné hodnoty nezávisia od hodnoty faktora)

(Predpokladáme, že úroveň priemerov niekoľkých ZS závisí len od jedného faktora)

H₁: nie všetky m_i sa rovnajú

(priemerné hodnoty závisia od hodnoty faktora; aspoň 2 priemery sa nerovnajú – nezávisia od faktora)

faktor: skupina, základný súbor

x_ij - j-ta hodnota štatistickej jednotky z i-teho výberového súboru

- i-ty výberový priemer

- celkový výberový priemer

celková odchýlka

celková odchýlka = medziúrovňová+vnútroúrovňová (reziduálna) odchýlka

SSTotal – súčet štvorcov celkových odchýlok

(celková variabilita údajov)

SST - súčet štvorcov medziúrovňových odchýlok

(variabilita spôsobená úrovňami faktora, vysvetlená faktorom)

SSE - suma štvorcov vnútroúrovňových (reziduálnych) odchýlok

(variabilita spôsobená náhodnými vplyvmi, nevysvetlená faktorom)

EXCEL/Nástroje/Analýza údajov/Anova: jeden faktor

Tabuľka analýzy rozptylu

Zdroj variability	SS(suma štvorcov odchýlok)	rozdiel d.f.(stupne voľnosti)	MS(priemer štv. odch.)	F testov. štatistika	Hodnota P	F-krit
Medzi výbermi	SST	r-1	MST medziúrovňové		najnižšia hodnota na zamietnutie H0	F1-a(r-1,n-r)
Všetky výbery	SSE	n-r	MSE reziduálne
celkom	SSTotal)	n-1

Vyhodnotenie testu:

H₀ : priemery základných súborov sa rovnajú

Oblasť zamietnutia H₀: F ³ F-krit, resp. ak a< P-hodnota

(Ak H₀ platí, F kolíše okolo 1; ak F>>1, potom sa priemery ZS nerovnajú.)

EXCEL/Nástroje / Analýza údajov / Korelácia

korelácia je normovanou mierou vzájomnnej lineárnej závislosti medzi hodnotami dvoch premenných X,Y

koeficient korelácie

R nadobúda hodnotu blízku 1 vysoká priama lineárna závislosť

R nadobúda hodnotu blízku -1 vysoká nepriama lineárna závislosť

R nadobúda hodnotu blízku 0,7 stredná priama lineárna závislosť

R nadobúda hodnotu blízku - 0,7 stredná nepriama lineárna závislosť

R nadobúda hodnotu blízku 0,5 slabá priama lineárna závislosť

R nadobúda hodnotu blízku -0,5 slabá nepriama lineárna závislosť

R nadobúda hodnotu blízku 0 premenné sú nekorelované

Analýza vzájomnej závislosti hodnôt

Modelovanie príčinnej závislosti

Y=f (X)

X - nezávisle premenná (príčina)

Y - závisle premenná (následok)

Regresná (vyrovnávajúca ) priamka

· - očakávaná (vyrovnaná) hodnota premennej Y pre danú hodnotu

premennej X

· - hodnota premennej X

· - očakávaná hodnota premennej Y, ak x = 0

• - regresný koeficient - udáva, o koľko sa zmení , ak sa hodnota X zmení o 1 mernú jednotku

Koeficient determinácie R² vyjadruje stupeň príčinnej závislosti premennej Y od premennej X , t.j. aký podiel variability premennej Y je vysvetlený regresným modelom

EXCEL/Nástroje / Analýza údajov / Regresia

Regresná štatistika
Násobné R	R
Hodnota spoľahlivosti R	R^2
Nastavená hodnota spoľahlivosti R	R^2 (upr)
Chyba str. hodnoty	srez
Pozorovaní	n

Regresná priamka:

y = b₀ + b₁ x

Lineárny regresný model:

y = b₀ + b₁ x + e

e... náhodná chyba, biely šum

	Rozdiel (stupne voľnosti)	SS	MS	F	Významnosť F
Regresia	1	SSR	MSR	F	p-hodnota
Rezíduá	n-2	SSE	MSE	F=MSR/MSE=	H0: lineárny model nie je štatisticky významný (zamieta sa pri veľmi malej p-hodnote), alebo ak F>Fa(1,n-2)
Celkom	n-1	SSY		=(SSR/1)/(SSE/n-2)

	Koeficienty	Chyba str. hodnoty	t stat	Hodnota P	Dolná 95%	Horná 95%	Dolná 99.0%	Horná 99.0%
Hranice	b0	Sb0	b0/Sb0	H0:B0=0	interval spoľahlivosti pre B0		interval spoľahlivosti pre B0
X	b1	Sb1	b1/Sb1	H0:B1=0	interval spoľahlivosti pre B1		interval spoľahlivosti pre B1

SSE (súčet štvorcov chýb) =

Ak SSE = SSR Y a X sú nezávislé.

Ak SSE > SSR lineárny vzťah Y a X vysvetľuje variabilitu Y podielom (SSR/SSY).100% = R² . Pri opačnej relácii je vzťah vysvetlený nedostatočne.